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Bento de Jesus Caraça Nascido a 1º de Abril de 1901, na Rua dos Fidalgos, em Vila Viçosa , numa modesta dependência do Convento das Chagas, onde se alojavam alguns criados da casa de Bragança, Bento de Jesus Caraça era filho de trabalhadores rurais. Viveu os primeiros cinco anos da sua vida na herdade da Casa Branca, na freguesia de Montoito, onde aprendeu a ler e escrever com um trabalhador, José Percheiro. A extraordinária rapidez com que aprendia, impressionou a esposa de Raul de Albuquerque (de quem o pai de Bento era feitor), que decidiu tomar a seu cargo a educação do jovem, sem suspeitar que estava a lançar as sementes do saber naquele que viria a ser, um dos mais notáveis vultos da ciência e da cultura portuguesas. Tendo concluído com distinção o exame de instrução primária em 1911, em Vila Viçosa , Bento Caraça fez depois o curso liceal nos Liceus de Santarém e Pedro Nunes, em Lisboa, ingressando, em 1918, no Instituto Superior do Comércio, nome então dado ao actual Instituto Superior de Economia e Gestão. Ao mesmo tempo, dava explicações para poder custear os seus estudos. Logo em Novembro de 1919 foi nomeado segundo assistente do primeiro grupo de cadeiras do ISCEF. Licenciou-se com altas classificações em 1923, passando a primeiro assistente em Dezembro de 1924. Três anos depois era nomeado professor extraordinário e professor catedrático da 10ª cadeira (Matemáticas Superiores, Álgebra Superior, Princípios de Análise infinitesimal e Geometria Analítica) em Dezembro de 1929. O regime fascista não lhe perdoou a inabalável dedicação à causa da classe operária. Constantemente perseguido, nunca abdicou dos seus ideais. Acabou por ser preso pela PIDE e, posteriormente, demitido do seu lugar de professor catedrático do ISCEF em Outubro de 1946. Foi matemático de valor, pedagogo e conferencista incansável, apostando na democratização da cultura como processo inseparável da luta pela transformação da sociedade. Teve um papel destacado na acção da Universidade Popular Portuguesa, de que foi presidente durante anos consecutivos, aí contribuindo para elevar a educação dos trabalhadores e sublinhando a. Importância das organizações sindicais no processo de libertação dos seus membros através da cultura. Deixou-nos uma vasta e diversificada obra, da qual destacamos: Conceitos Fundamentais de Matemática; Cálculo Vectorial e Sobre a aplicação de um grupo de fórmulas de cálculo das probabilidades na teoria dos seguros de vida. Morreu em 1948, vítima de uma doença cardíaca incurável.
Euclides
Tudo começou com os "Elementos", um livro de 13 volumes, no qual Euclides reuniu tudo que se sabia sobre matemática em seu tempo - aritmética, geometria plana, teoria das proporções e geometria sólida. Sistematizando a grande massa de conhecimentos que os egípcios haviam adquirido desordenadamente através do tempo, o matemático grego deu ordem lógica e esmiuçou a fundo as propriedades das figuras geométricas, das áreas e volumes, e estabeleceu o conceito de lugar geométrico. Depois, para completar, enunciou o famoso "Postulado das Paralelas", que afirma: "Se uma recta, interceptando duas outras, forma ângulos internos do mesmo lado, menores que dois rectos, estas outras, prolongando-se ao infinito, encontrar-se-ão no lado onde os ângulos sejam menores do que dois rectos."
As geometrias dissidentes
Leonhard Euler Leonhard Euler, nasceu em 15 de Abril de 1707, e morreu em 18 de Setembro de 1783. Foi o matemático mais prolífico na história. Os 866 livros e artigos dele representam aproximadamente um terço do corpo inteiro de pesquisa em matemática, teorias físicas, e engenharia mecânica publicadas entre 1726 e 1800. Em matemática pura, ele integrou o cálculo diferencial de Leibniz e o método de Newton em análise matemática; refinou a noção de uma FUNÇÃO; criou muitas notações matemáticas comuns, incluindo o e , i , o símbolo do pi e o símbolo do sigma ; e pôs a fundação para a teoria de funções especiais, introduzindo as FUNÇÕES TRANSCEDENTAIS beta e gamma.
Euler também trabalhou nas origens do CÁLCULO DE VARIAÇÕES, mas reteve o seu trabalho em deferência para LAGRANGE. Ele foi um pioneiro no campo da TOPOLOGIA e fez TEORIA do NÚMERO em uma ciência, declarando o teorema do número primo e a lei da reciprocidade biquadrática. Em Física, ele articulou dinâmica Newtoniana e colocou a fundação de mecânica analítica, especialmente na sua Teoria dos Movimentos de Corpos Rígidos (1765). Como seu professor Johann Bernoulli, ele elaborou mecânica contínua, mas ele também trabalhou com a teoria cinética de gases com o modelo molecular. Com Alexis CLAIRAUT ele estudou a teoria lunar. Ele também fez pesquisa fundamental em elasticidade, acústica, a teoria de onda de luz, e o hidromecânica de navios. Euler nasceu em Basel, Suíça. Seu pai, um pastor, queria que o filho seguisse os passos dele e o enviou para a Universidade de Basel para prepará-lo para o ministério, mas geometria se tornou logo o assunto favorito dele. Pela intercessão de Bernoulli, Euler obteve o consentimento de seu pai para mudar para a matemática. Depois de não conseguir uma posição de físico em Basel em 1726, ele se uniu a St. Academia de Ciência de Petersburg em 1727. Quando foram retidos capitais da academia, ele serviu como médico-tenente na marinha russa de 1727 a 1730. Ele se tornou o professor de Física na academia em 1730 e professor de Matemática em 1733, quando ele casou e deixou a casa de Bernoulli. A reputação dele cresceu depois da publicação de muitos artigos e o seu livro Mechanica (1736-37), que apresentou extensivamente pela primeira vez dinâmica Newtoniana na forma de análise matemática. Em 1741, Euler se juntou à Academia de Ciência de Berlim, onde ele permaneceu durante 25 anos. Em 1744 ele se tornou o director da secção dematemática da academia. Durante a permanência dele em Berlim, ele escreveu mais de 200 artigos, três livros em análise matemática, e uma popularização científica, Cartas para Princesa de Alemanha (3 vols., 1768-72). Em 1755 ele foi eleito um membro estrangeiro da Academia de Ciência de Paris; durante sua carreira ele recebeu 12 desses prémios bienais prestigiosos. Em 1766, Euler voltou à Rússia, depois de Catherine a Grande fazer-lhe uma oferta generosa. Na ocasião, Euler estava tendo diferenças com Frederick o Grande em cima da liberdade académica e outros assuntos. Frederick ficou enfurecido na partida dele e foi convidado Lagrange a substitui-lo. Na Rússia, Euler se tornou quase completamente cego depois de uma operação de catarata, mas pôde continuar com sua pesquisa e escrevendo. Ele teve uma memória prodigiosa e pôde ditar tratados em ópticas, álgebra, e movimento lunar. Em sua morte em 1783, ele deixou uma reserva vasta de artigos. A Academia de St.Petersburg continuou a publicá-los durante os próximos 50 anos.
Blaise Pascal Blaise Pascal foi um Filósofo e Matemático francês, nasceu em Clermont em 1623 e morreu em 1662 na cidade de Paris. Era filho de Etienne Pascal, também Matemático. Em 1632, toda a família foi viver em Paris. O pai de Pascal, que tinha uma concepção educacional pouco ortodoxa, decidiu que seria ele próprio a ensinar os filhos e que Pascal não estudaria Matemática antes dos 15 anos, pelo que mandou remover de casa todos os livros e textos matemáticos. Contudo, movido pela curiosidade, Pascal começou a trabalhar em Geometria a partir dos 12 anos, chegando mesmo a descobrir, por si, que a soma dos ângulos de um triângulo é igual a dois ângulos rectos. Então o seu pai resignou-se e ofereceu a Pascal uma cópia do livro de Euclides.
Aos 14 anos, Pascal começou a acompanhar o seu pai nas reuniões de Mersenne, onde se encontravam muitas personalidades importantes. Aos 16 anos, numa das reuniões, Pascal apresentou uma única folha de papel que continha vários teoremas de Geometria Projectivo, incluindo o hoje conhecido como "Hexagrama místico" em que demonstra que "se um hexágono estiver inscrito numa cónica, então as intersecções de cada um dos 3 pares de lados opostos são colineares". Em Fevereiro de 1640 foi publicado este seu trabalho – "Ensaio sobre secções cónicas", no qual trabalhou durante 3 anos Em 1639 a família de Pascal deixou Paris e mudou-se para Rouen, onde o seu pai tinha sido nomeado colector de impostos da Normandia Superior. Aos dezoito anos e com o objectivo de ajudar o pai na tarefa de cobrar impostos, Pascal inventou a primeira máquina digital , chamada Pascalinne para levar a cabo o processo de adição e subtracção, e posteriormente organizou a produção e comercialização destas máquinas de calcular (que se assemelhava a uma calculadora mecânica dos anos 40). Pelo menos sete destes «computadores» ainda existem; uma foi apresentada à rainha Cristina da Suécia em 1652. Quando o seu pai morreu em 1651, Pascal escreveu a uma das suas irmãs uma carta sobre a morte com um profundo significado cristão em geral e em particular sobre a morte do pai. Estas suas ideias religiosas foram a base para a sua grande obra filosófica "Pensées" que constitui um conjunto de reflexões pessoais acerca do sofrimento humano e da fé em Deus. Em Física destacou-se pelo seu trabalho "Tratado sobre o equilíbrio dos líquidos" relacionado com a pressão dos fluidos e hidráulica. O princípio de Pascal diz que a pressão em qualquer ponto de um fluido é a mesma, para que a pressão aplicada num ponto é transmitida a todo o volume do contentor. Este é o princípio do macaco e do martelo hidráulico. Pascal estudou e demonstrou no trabalho do "Triângulo aritmético", publicado em 1654, diversas propriedades do triângulo e aplicou-as no estudo das probabilidades. Antes de Pascal, já Tartaglia usara o triângulo nos seus trabalhos e, muito antes, os matemáticos árabes e chineses já o utilizavam. Este famoso triângulo que se pode continuar indefinidamente aumentando o número de linhas, é conhecido como Triângulo de Pascal ou Triângulo de Tartaglia. Trata-se de um arranjo triangular de números em que cada número é igual à soma do par de números acima de si. O triângulo de Pascal apresenta inúmeras propriedades e relações, por exemplo, "as somas dos números dispostos ao longo das diagonais do triângulo geram a Sucessão de Fibonacci . Em correspondência com Fermat, durante o Verão de 1654, Pascal estabeleceu os fundamentos da Teoria das Probabilidades. O seu último trabalho foi sobre a Ciclóide – a curva traçada por um ponto da circunferência que gira, sem escorregar, ao longo de uma linha reta. Durante esse ano desinteressou-se pela ciência; passou os últimos anos da vida a praticar caridade e decidiu dedicar-se a Deus e à religião. Faleceu com 39 anos devido a um tumor maligno que tinha no estômago se ter estendido ao cérebro.
Benoit Mandelbrot Benoit Mandelbrot, nasceu em Varsóvia, capital da Polônia a 20 de Novembro de 1924. A sua família era judaica e tinha vindo originariamente da Lituânia o pai trabalhava como fabricante de roupa. Em 1936 - Benoit tinha 12 anos, Hitler estava começando a ameaçar a Europa então a família mudou-se para Paris onde um seu tio paterno SzoIem, ensinava matemática na Universidade Benoit cresceu entre encontros matemáticos e ouvindo falar de matemática tornando-se interessado especialmente em geometria. O tio que trabalhava em análise avançada (Cálculo) não aprovou o seu interesse pois partilhava a opinião de muitos matemáticos do tempo que a Geometria tinha chegado ao fim e era seguida somente por estudantes principiantes. Em 1940, os alemães ocuparam a França. A família Mandelbrot tinha de mudar de residência frequentemente para escapar aos nazis; era impossível ao jovem Benoit ter escolaridade normal. Ele mesmo escreveria mais tarde durante um tempo eu andava deslocando-me com um irmão mais novo, carregando uns poucos livros antiquados e aprendendo coisas ao meu modo, adivinhando um número de coisas eu próprio, não fazendo nada de modo racional ou até mesmo razoável e adquirindo uma grande porção de independência e autoconfiança. Quando Paris foi libertada em 1944, Benoit fez exames para entrar em universidades Francesas. Embora nunca tivesse estudado álgebra avançada ou calculo, Benoit descobriu que a sua familiaridade e dedicação á geometria tinha-o ajudado "explicar" problemas noutros ramos da matemática em formas familiares. Figuras geométricas pareciam ser amigas naturais de Benoit da mesma maneira que Ramanujan tinha considerado todo o número natural ser seu amigo pessoal. Em 1945 , o tio de Benoit voltou dos EUA onde se tinha refugiado durante a guerra. Eles discutiam acerca da futura carreira de Benoit. Szolem apoiava um movimento matemático chamado Bourbaki que insistia num estilo de análise matemática formal, rigorosa e elegante. Benoit resistiu ás sugestões do tio. Talvez porque a sua juventude tenha sido passada num mundo de constantes mudanças, Benoit instintivamente procurava um campo que tivesse duras margens e textura - um mundo de mudança de formas geométricas. Na Escola Politécnica de Paris, Mandelbrot encontrou um matemático que participava deste espírito de aventura - Paul LÉVY (1886-?); este tornara-se um perito em teoria de probabilidades e também estudava fenómenos físicos que envolviam probabilidades tais como o movimento browniano - o modo fortuito e nervoso como pequenas partículas se movem em resposta à energia calorífica. Lévy ajudou Mandelbrot a aprender a olhar para os fenómenos matemáticos na natureza ao contrário do que acontecia nas correctas abstracções alinhadas fornecidas por muitos matemáticos reconhecidos. Em 1952, Mandelbrot obteve o seu Ph.D. na Universidade de Paris A sua tese de doutoramento agregou ideias de termodinâmica, da cibernética de Norbert Wiener e da Teopria dos Jogos de John von Neumann. Mais tarde Mandelbrot disse que a tese estava pobremente escrita e mal organizada, mas que reflectia o seu esforço continuado para juntar os novos caminhos do mundo matemático e da física. Em 1953/54, Mandelbrot como muitos dos "refugiados matemáticos" foi para o Instituto de Estudos Avançados em Princeton, onde continuou a explorar muitos campos diferentes da Matemática. Em 1955, voltou para França e casou com Aliete Kagan. O trabalho que agregaria todos os interesses de Mandelbrot começou em l 958 quando ele aceitou abertamente uma posição no Departamento de investigação da "International Business Machines (IBM). Esta estava a tornar-se o líder da indústria de computadores e ela, como "Telephone Bell" , tinha um plano para fornecer a cientistas seleccionados e incisivos algum dinheiro e um laboratório, permitindo-lhes prosseguirem os seus interesses. Embora o trabalho que eles financiavam frequentemente não tivesse conexão directa com computadores ou telefones, tais programas muitas vezes resultaram em avanços técnicos importantes. Em 1960, Mandelbrot começou a notar padrões não usuais em dados aparentemente fortuitos. Embora ele não tivesse bases em Economia chegou á conclusão que a economia é uma boa fonte de dados fortuita. Por exemplo, o preço de uma mercadoria (tal como o algodão) usualmente movimenta-se em duas maneiras: uma espécie de movimento tem alguma causa razoável, tal como mau tempo reduzindo urna quantidade de produto disponível; outra espécie de movimento parece ser errada ou fortuita - os preços vacilam para cima ou para baixo em pequenas de hora a hora ou dia a dia. Os economistas assumiram que se flutuações fortuitas de preço eram representadas num gráfico, elas formariam o padrão bem conhecido por "Curva de Sino" (Quando uma classe está representada numa curva há somente uns poucos As e Fs mais Bs e Ds e o maior grupo de produção é de Cs. A curva "faz bojo" no meio de C e termina em ponta conforme nos deslocamos próximo de F ou A). Por outras palavras Mandelbrot esperava que a maioria dos preços rondariam perto do valor médio. Mandelbrot tinha sido convidado por Hendrick Houthakker, um professor de Economia em Havard, para fazer uma palestra aos seus alunos; quando ele chegou ao Departamento desse Professor, o gráfico que ele viu no quadro preto parecia-lhe estranhamente familiar Mandelbrot tinha estado a fazer gráficos da distribuição dos rendimentos num grupo de pessoas; tinha encontrado que os rendimentos não caiam numa curva de sino. Eles tendiam a fazer uma curva mais comprida e mais achatada com altos de lucros espalhados através dela. O diagrama de, Houthakker parecia muito semelhante embora ela acabasse por representar não rendimentos, mas preços de algodão. Mandelbrot, mais tarde recordou que "tinha identificado um novo fenómeno presente em muitos aspectos da natureza" mas todos os exemplos eram periféricos nos seus campos, e o próprio fenómeno tinha definição enganosa. O termo usual agora é o grego "chaos" mas eu tinha estado a usar o termo de som mais fraco em latim, ao tempo, "excêntrico procedimento". O "excêntrico procedimento" que tinha aparecido em rendas e preços de algodão, tinha também aparecido em física no movimento oscilante de pequenas partículas de pó ou moléculas de gás. Em Geometria, isto mostrava-se em padrões que eram feitos de finas saliências que eram distribuídas aparentemente a esmo. Os padrões necessitavam de correcção das linhas rectas e curvas suaves da Geometria euclidiana, mas os padrões eram muito semelhantes, isto é, se aumentasse o padrão, cada parte parecia como uma cópia miniatura do todo. Isto podia ser feito indefinidamente movendo para uma escala mais pequena. Mandelbrot usou a palavra "fractal" (significando fracturado ou interrompido) para descrever estes padrões geométricos. Mandelbrot começou muitas vezes as suas conferências, em Geometria fractal pela pergunta: " Quanto é o comprimento da linha de costa da Grã-Bretanha?". Esta Questão é decididamente simples Se olhar para o mapa da Grã-Bretanha num atlas e colocar uma régua ao longo da costa para formar de segmentos de recta, poderia desenhar 8 de tais linhas representando 200 milhas cada -- para um comprimento total de 1600 milhas . Mas se usar segmentos mais curtos de 25 milhas cada que se ajustam em ziguezagues ao litoral mais exactamente, podia obter 102 segmentos para um comprimento total de 2250 milhas . Se obtiver então mapas locais e começar a medir o litoral em cada região, o comprimento total aumentará consoante as medidas forem menores e mais precisas eventualmente poderia andar na praia e medir a orla da praia entre os contrafortes e bancos de areia. Quanto mais se aproximar disso, mais detalhes vê. O litoral é um fractal: em vez de ter somente uma dimensão (como uma linha num mapa) tem uma dimensão "fractonal" de cerca de 1/2 Propor outro caminho, mete muitos extra ziguezagues na dimensão simples do espaço. Desde os anos l 960 muitos tipos diferentes de fractais foram descobertos. Cada um tinha uma equação que gera umas séries de números complexos. Quando Mandelbrot começou a criar fractais, tinha de usar a estrutura dos computadores IBM que eram alimentados com cartões perfurados. Hoje uma "desktop" PC pode gerar muitas espécies de imagens fractais e mostrá-las em cores perfeitas. Talvez a mais famosa imagem fractal é chamada "conjunto de Mandelbrot" em honra do seu descobridor. Fonte: Jornal de Mathematica Elementar
Jean Bernoulli Os irmãos Jacques e Jean Bernoulli foram discípulos importantes de Leibniz. Nenhuma família na história da humanidade produziu tantos matemáticos quanto a família Bernoulli, doze ao todo, que contribuíram de modo inigualável na criação e desenvolvimento do cálculo diferencial e integral. Foram os Bernoulli que usaram pela primeira vez a palavra integral (1669) e, pouco depois, Leibniz concordaria que Cálculus Integralis seria um nome melhor que Cálculus Sommatorius. A família Bernoulli teve sua origem na Holanda, na cidade da Antuérpia, fugindo para a Suíça, por serem protestantes. Jean Bernoulli nasceu na cidade da Basiléia, Suíça, no dia 07 de agosto de 1667. Filho de Nicolau Bernoulli, também pai de outros dois matemáticos: Jacques e Nicolau. Embora o Sr Nicolau tivesse proporcionado muito conhecimento de matemática aos filhos, não pretendia que os mesmos se dedicassem a ela. Esperava que seus filhos fossem ministros religiosos ou médicos. De início, Jean segue o caminho estipulado pelo pai, chegando a escrever uma tese de doutoramento em medicina sobre fermentação, com apenas 23 anos de idade. A partir de 1691, Jean tornou-se um apaixonado pela teoria do cálculo diferencial e integral, escrevendo dois livros sobre cálculo, em 1692, Jean encontrava-se em Paris e, para ganhar a vida, tornou-se professor particular de um jovem, Guilherme François L'Hospital, Marquês de St Mesme, Com o qual fez um pacto: em troca de um salário mensal dado pelo marquês, Jean concordaria em passar para o mesmo suas descobertas matemáticas para serem usadas como o marquês desejasse. O resultado deste acordo foi que uma das mais importantes contribuições de Jean Bernoulli, datada de 1694, para resolução de limites indeterminados, passou a ser conhecida mundialmente como regra de L'Hospital, Analysis des Infinites Petits (Análise dos Infinitamente Pequenos), publicado em Paris em 1699. A publicação é tida como primeiro livro de cálculo diferencial e Integral editado no mundo, cuja importância foi enorme para a divulgação do cálculo entre os estudiosos do século XVIII. Neste livro, L'Hospital demonstra ser um escritor exímio expondo de maneira ordenada, através de seus dotes pedagógicos, toda a evolução das principais idéias-suportes das integrais e derivadas. Este livro teve um sucesso tão grande, que durante dois séculos foi publicado com tiragens de milhares de exemplares. No prefácio, L'Hospital agradece de maneira especial a Jean Bernoulli e a Leibniz. Em 1695, Bernoulli foi convidado a ser professor da Universidade de Groningen e, em 1696, começa a interessar-se pelo o que seria o cálculo varicional. Nesta época, propôs, na revista Acta Eruditorium, o célebre problema do tempo mínimo de descida de um corpo sob acção do campo gravitacional, problema este resolvido por Euler e por vários matemáticos, inclusive pelo próprio Jean. Em 1694, casa-se com Marie Euler, sobrinha do grande Euler, com a qual teve três filhos, todos gênios : Nicolau I, Daniel I e Jean II. Estes fariam grandes trabalhos dentro da física e da matemática e não seria por menos, pois em suas veias corria o sangue de duas grandes famílias: os Euler e os Bernoulli. Em 1704, após a morte de L'Hospital, acusa-o a outros matemáticos de Ter plagiado vários de seus resultados, o qual foi considerado infundado por seus contemporâneos. No entanto, anos depois, quando se tornou pública a correspondência entre ele e L'Hospital, os matemáticos perceberam que todas as grandes ideias do segundo, foram dadas pelo primeiro. Em 1711, Jean Bernoulli era conhecido no mundo todo devido a seus importantes trabalhos dentro da matemática, da física e da engenharia, principalmente pelos seus estudos sobre as propriedades da catenária, sendo homenageado, várias vezes, por reis e rainhas. Diz a lenda em torno de seu nome que ao se apresentar onde não era conhecido, as pessoas respondiam: se você é Bernoulli, então nós somos Newton. Em 1712, demonstra sinais nítidos de loucura, ao expulsar de casa seu filho Daniel, por ele ter conquistado um prémio da Academia de Ciências de Paris, ao qual Jean também concorreu. O fato de o filho ter sido melhor do que ele, provocou-lhe uma inveja que perdurou até o final de sua vida. Recusava-se a conversar com as pessoas em sua volta e, se estas conhecessem matemática, afirmava que eram ladras de suas idéias. Todos estes sintomas de paranóia tornar-se-iam agudos com o passar dos anos. No ano de 1747, fica praticamente sozinho no mundo, abandonado inclusive pela própria família. Jean Bernoulli morreu vítima da loucura na cidade de Basiléia, no dia 03 de janeiro de 1748, com 81 anos de idade.
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